【導(dǎo)讀】通常，被動(dòng)元件值的變化會(huì)導(dǎo)致濾波器響應(yīng)特性發(fā)生一些變化。如果這種變化足夠小，就會(huì)存在一個(gè)靈敏度 S，這是一個(gè)比例常數(shù)，將濾波器參數(shù) y 變化與被動(dòng)元件 x 的變化聯(lián)系起來。為了保持 S 無量綱，將被動(dòng)元件值的分?jǐn)?shù)變化與參數(shù)的變化聯(lián)系起來會(huì)很有用。
濾波器中使用的無源元件類型
但與其依靠經(jīng)驗(yàn)法則，不如先使用標(biāo)稱值無源元件和無高頻滾降且諧振頻率增益為 1000·4·Q 2或更高的運(yùn)算放大器來模擬濾波器。然后，降低增益并引入高頻滾降，直到看到響應(yīng)變化。，可以選擇具有匹配或更優(yōu)異特性的運(yùn)算放大器并將其用于模擬以確認(rèn)設(shè)計(jì)。
由于元件公差導(dǎo)致的量化濾波器響應(yīng)變化
通常，被動(dòng)元件值的變化會(huì)導(dǎo)致濾波器響應(yīng)特性發(fā)生一些變化。如果這種變化足夠小，就會(huì)存在一個(gè)靈敏度 S，這是一個(gè)比例常數(shù)，將濾波器參數(shù) y 變化與被動(dòng)元件 x 的變化聯(lián)系起來。為了保持 S 無量綱，將被動(dòng)元件值的分?jǐn)?shù)變化與參數(shù)的變化聯(lián)系起來會(huì)很有用。從數(shù)學(xué)上講，
當(dāng) Δx 趨向于零時(shí)求解極限，我們得到：
值得關(guān)注的 x 實(shí)例是組成濾波器的電阻和電容值。y 實(shí)例是定義濾波器參數(shù)：通帶增益、Q 和 ω 0 = 2π·f 0。以下是如何計(jì)算圖 1中低通濾波器的各種 S 值的示例。
圖 1用于計(jì)算各種 S 值的示例低通濾波器。
上述濾波器的頻域（s平面）傳遞函數(shù)為：
對(duì)于這樣的部分，這等于：
通過使同類項(xiàng)相等，可以計(jì)算出各種參數(shù)。但真正需要的是每個(gè) y 參數(shù)對(duì)完整濾波器設(shè)計(jì)（涉及其所有無源元件）的總靈敏度。一種方法是使用以下公式：
這是特定 y 對(duì)每個(gè) i 組件 x i的靈敏度平方和乘以 x i的容差（百分比），pct_tol xi 的平方根。此表達(dá)式可用于比較具有不同組件值集的實(shí)現(xiàn)的總體靈敏度。
通用濾波器設(shè)計(jì)方法
參見圖 2，其中顯示了用于設(shè)計(jì)和分析低通濾波器的電子表格LPF.xlsx。其許多特性與高通和帶通電子表格中使用的特性相同。
圖 2低通濾波器電子表格的屏幕截圖，其中黃色值由用戶輸入，橙色單元格是電子表格自動(dòng)計(jì)算的濾波器組件值，底部參數(shù)是電子表格所需的中間計(jì)算，F(xiàn) 列和 G 列包含靈敏度值。還有一個(gè)忽略 _ρ 的圖表，顯示用戶可以選擇的多種可能的組件值。
C 列第 5 行至第 14 行中的黃色值是用戶輸入的值。這些包括濾波器特性參數(shù) Q、增益和 f 0；以及比率 _ρ = C1/C2（請(qǐng)注意與單元格 C10 相關(guān)的注釋）；C1 和 RG 的值（B 列至 D 列和第 26 行至第 37 行中所示的原理圖中元件的參考指示器）；以及濾波器中打算使用的電阻器 (r_tol) 和電容器 (c_tol) 的百分比公差。
橙色單元格（B 列和 C 列，第 20 至 24 行）是電子表格根據(jù)這些用戶輸入計(jì)算出的過濾組件值。C 列和 D 列，第 43 至 48 行包含電子表格所需的一些中間計(jì)算。
F 和 G 列包含與每個(gè)組件 x 相關(guān)的、和靈敏度。僅列出對(duì)總靈敏度參數(shù) S Q、 S Gain和 S ω 0 （也顯示在這些列中）具有非零影響的靈敏度。請(qǐng)注意，電子表格計(jì)算的每個(gè)參數(shù)的方程式都出現(xiàn)在參數(shù)值的右側(cè)。還有一個(gè)忽略 _ρ 的圖表，顯示用戶可以選擇的多種可能的組件值。
低通濾波器設(shè)計(jì)
現(xiàn)在讓我們看一下圖上的參數(shù) _ρ = _C1 /_C2 和靈敏度 S Q和 S ω 0 的曲線，它們由 _r = _R2/(1/_R1a + 1/_R1b) 參數(shù)化，值從 .01 到 100。這些僅取決于 Q、增益和 _r。所有這些都是無量綱的。
_ρ 曲線顯示，對(duì)于此特定濾波器，小于 4·Q 2 = 4的值沒有解。（如果您為 _ρ 輸入了這樣的值，Excel 將對(duì)許多電子表格計(jì)算返回 #NUM！錯(cuò)誤。）增益靈敏度曲線 S Gain無法以對(duì)數(shù)刻度顯示 - 單元格 G25 顯示它等于零。為什么？通帶（低頻）增益為 1，RF 為零，R1b 為無窮大（電子表格顯示它大得離譜），并且沒有任何無源元件對(duì)增益產(chǎn)生任何影響。（在物理濾波器中，仍然對(duì)單位增益配置運(yùn)算放大器的增益敏感，由于其有限增益帶寬積，該增益實(shí)際上小于單位增益。因此，這是使用預(yù)期運(yùn)算放大器模擬濾波器設(shè)計(jì)的原因之一。）有趣的是，對(duì)于大于或等于單位增益，組件對(duì) S ω 0的敏感度與 Q、_r、_ρ 和 Gain 無關(guān)，僅取決于公差 r_tol 和 c_tol。如果 Gain 為單位增益，則可能受影響的整體敏感度是 S Q，在這種情況下，當(dāng) _ρ = 4·Q 2 = 4 時(shí)，S Q 被化。
當(dāng) _C1 輸入 12.0E-9 時(shí)，_ρ 的表達(dá)式 = 12/2.7 ≈ 4.44 接近 4，從而允許使用標(biāo)準(zhǔn)值電容器?？梢钥闯?，對(duì)于低通和高通濾波器，不敏感的選擇是增益為 1。圖 3顯示了當(dāng)增益要求增加哪怕一點(diǎn)點(diǎn)到 1.5 時(shí)會(huì)發(fā)生什么。
圖 3 的低通濾波器設(shè)計(jì)，其增益參數(shù)從 1 增加到 1.5。
S ω 0保持不變，正如預(yù)期，但 S Q現(xiàn)在已經(jīng)增加了一倍多，S Gain也出現(xiàn)了，盡管這并不令人擔(dān)憂。的好消息是 _ρ = _C1/_C2 可以降低到 2.2/1，_C1 可以降低到 2.2E-9（圖 3 中未顯示），對(duì) S Q沒有顯著影響。不建議大幅增加 Gain，因?yàn)檫@會(huì)導(dǎo)致 S Q大幅跳躍，如圖4所示。
圖 4低通濾波器屏幕截圖，增益從 1 跳變到 5，導(dǎo)致 SQ 出現(xiàn)大幅跳躍。
與圖 3 設(shè)計(jì)相比，如此大的增益值使 S Q的可獲得值增加了6 倍。對(duì)于更高的 Q 值和大于 1% 的組件公差，問題會(huì)變得更加嚴(yán)重。
低通濾波器設(shè)計(jì)總結(jié)
毫無疑問，使用公差的無源元件可以獲得結(jié)果。幾乎無法影響 S ω 0的值，當(dāng)增益值大于或等于 1 時(shí)，該值保持不變，而當(dāng)增益較小時(shí)，該值僅會(huì)小幅下降。幸運(yùn)的是，它的值相對(duì)較小。對(duì)于給定的 Q 和 f 0值，不敏感的低通濾波器設(shè)計(jì)總體上具有 1 增益。在這種情況下，S Gain為零，S Q處于值。1 或更低的增益會(huì)使 S Q 保持不變，但會(huì)導(dǎo)致 S Gain略高于非常穩(wěn)定的 S ω 0。真正的問題來自于大于 1 的增益值：即使稍高的值也會(huì)導(dǎo)致 S Q顯著增加并壓倒 S Gain和 S ω 0的貢獻(xiàn)，但它們會(huì)降低 _ρ 的可用值，對(duì)于某些高 Q 情況，這可能是與增加 S Q相比可以接受的權(quán)衡。不過，一般來說，避免增益值遠(yuǎn)大于 1 是明智的，您可以驗(yàn)證通常推薦的增益 = 2 的情況，以允許相等的電容值使 _ρ = 1 產(chǎn)生 S Q的驚人增加。
高通濾波器設(shè)計(jì)
除了與 R1 和 R2 的處理方式以及 C1 和 C2 的處理方式互換有關(guān)的一些差異外，圖 5所示的高通濾波器設(shè)計(jì)和高通濾波器設(shè)計(jì)電子表格與低通濾波器的設(shè)計(jì)非常相似。的差異首先是，圖形曲線的參數(shù)化方式是 _ρ = _C1/_C2（假設(shè)值從 .01 到 100），而不是 _r = _R2/_R1。對(duì)于低通，_r 的任何值都會(huì)產(chǎn)生可實(shí)現(xiàn)的結(jié)果，而對(duì)于高通，_ρ 也是如此。其次，沒有與低通濾波器的 R1b/R1a 相對(duì)應(yīng)的 C1b/C1a 分壓器 - 只有 _C1。引入電容分壓器需要前級(jí)來驅(qū)動(dòng)電容負(fù)載，從而引起振蕩。因此，盡管高通濾波器無法支持小于 1 的增益值，但高通和低通設(shè)計(jì)顯示出明顯的相似性。圖 4 與圖 5 的圖表采用相同的 Q、增益和 f 0，進(jìn)行比較，結(jié)果幾乎相同（_ρ 和 _r 互換）。
圖5：高通濾波器屏幕截圖，其Q值、增益和f 0要求與圖4相同。
高通濾波器設(shè)計(jì)摘要
“低通濾波器設(shè)計(jì)摘要”部分中的評(píng)論也適用于此，只是沒有小于 1 的增益值選項(xiàng)。
帶通濾波器設(shè)計(jì)
雖然高通和低通濾波器中對(duì)元件公差不敏感的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是 Sallen-Key，但對(duì)于帶通濾波器來說，它是 Delyannis-Friend（又稱多反饋配置）。圖 6中可以看到帶通濾波器電子表格的屏幕截圖。
帶通的用戶數(shù)據(jù)輸入與低通和高通情況非常相似，只是沒有 _RG（因此也沒有 _RF）。再次提醒，請(qǐng)注意 D 和 E 列注釋中的注釋。如果單元格 C6（諧振時(shí)的濾波器增益）的背景為紅色，則沒有可實(shí)現(xiàn)的濾波器，應(yīng)忽略 C 至 G 列中的計(jì)算，并且圖表將為空白。
在某些情況下，單元格 C6 的背景顏色將為正常的白色，但濾波器將僅對(duì)某些較小的 _ρ 值可實(shí)現(xiàn)，并且圖形的曲線將相應(yīng)地顯示。無論單元格 C10 中的 _ρ 值是多少，曲線都可能不存在，或部分或全部存在。但如果 C10 的背景顏色為紅色，則應(yīng)忽略 C 至 G 列中與 _ρ 相關(guān)的計(jì)算。圖 6 是一個(gè)示例，其中濾波器諧振時(shí)的增益足夠接近可能值 2·Q 2，從而導(dǎo)致高 _ρ 值（大于 30）無法實(shí)現(xiàn)。
圖 6帶通濾波器屏幕截圖，其中用戶輸入數(shù)據(jù)（黃色）與低通和高通濾波器 Excel 表相似。
帶通濾波器設(shè)計(jì)總結(jié)
令人驚訝的是，無源靈敏度曲線幾乎完全獨(dú)立于用戶指定的諧振濾波器增益。這是因?yàn)閷?duì)于給定的 Q 和 f 0，濾波器增益由 R1a 與 R1b 的比率設(shè)置。這些組件的并聯(lián)組合與濾波器增益無關(guān)，濾波器的其余部分除了信號(hào)電平外沒有區(qū)別。（設(shè)計(jì)人員應(yīng)該知道，運(yùn)算放大器很容易在增益過高的情況下在諧振點(diǎn)或附近削波。）令人驚訝的是，靈敏度與 Q 無關(guān)。但是，Q 越高，運(yùn)算放大器開環(huán)增益就必須越高，以提供足夠的裕度來準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)所需的運(yùn)算放大器閉環(huán)增益。強(qiáng)烈建議使用為其設(shè)計(jì)的運(yùn)算放大器或具有類似增益特性的運(yùn)算放大器來模擬濾波器設(shè)計(jì)。
僅從靈敏度曲線來看，可以得出結(jié)論，選擇是 _ρ 為 1 或更小。_ρ = 1 具有比率 _r = R2 / (R1a || R1b) 的優(yōu)勢(shì)。但請(qǐng)考慮諧振時(shí)運(yùn)算放大器的增益：_ρ 值越高，所需的增益越小，對(duì)運(yùn)算放大器開環(huán)增益要求的負(fù)擔(dān)越小，從而提供足夠的裕度來滿足閉環(huán)增益要求。
更高的 _ρ 值只會(huì)使壓倒性的 S增益增加一點(diǎn)點(diǎn)。顯然，當(dāng)考慮對(duì)運(yùn)算放大器閉環(huán)增益的要求時(shí)，_ρ 值小于 1 會(huì)帶來相當(dāng)大的不利影響。也許的選擇是 _ρ = 1。匹配的電容器可以是任何標(biāo)準(zhǔn)值，S增益接近其值，_r 為其值，運(yùn)算放大器閉環(huán)（因此也是開環(huán)）增益要求只會(huì)略有增加。
靈活的無源元件值
本文及其附帶的電子表格幫助您了解通帶增益、Q 值和諧振頻率對(duì)幾乎無限的無源元件組合的敏感性，這些無源元件可構(gòu)成低通、帶通和高通單運(yùn)算放大器濾波器。本文還提供了使用現(xiàn)成電容值來實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)的能力。希望濾波器設(shè)計(jì)人員會(huì)發(fā)現(xiàn)這些是一套有用的工具，其功能在其他地方是找不到的。
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